圆锥弧线是分解几何中很抨击的一部天职容，此外皮微分几何、偏微分方程、天膂力学、量子力学等许多范畴齐能往往地见到它们的身影(基本初等函数并不基本;从单摆提及;开普勒三定律;四极点定理;霍迪奇定理;圆、椭圆与椭圆形线;抛体领略轨迹是抛物线依然椭圆？;万有引力定律)。圆锥弧线中的椭圆和双弧线不错说是一双孪生昆季(或姐妹)，因为它们许多性质极其相同。举例两者圭臬方程的表情相同，椭圆圭臬方程为
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双弧线的圭臬方程为
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椭圆和双弧线齐有两个焦点和两条准线；凭证椭圆不错界说三角函数，而凭证双弧线不错界说双曲函数，若永诀用三角函数和双曲函数默示椭圆和双弧线的参数方程，这时两者的参数方程在表情上特别相同(三角函数的嫡亲——双曲函数)。而抛物线不错看作是介于椭圆和抛物线之间的两者的极限弧线。当焦点笃定时，椭圆或双弧线圭臬方程中参数的解放度均为1。此时若给定两个点，则以它们为焦点的一系列椭圆和双弧线就组成弧线网，其中大肆一个椭圆对应一个寂寞参数，记为ξ，大肆一支双弧线也对应一个寂寞参数，记为η。若椭圆跟双弧线只消一个交点，那么两个寂寞参数组成的二元数组(ξ,η)就不错默示交点的坐标。从而不错用共焦点的一簇椭圆和一簇双弧线开辟一个坐标系，称为椭圆坐标系。挑升旨真理的是椭圆坐标系依然正交弧线坐标系，也就说共焦点的大肆两个椭圆跟双弧线在交点处的切线相互垂直。这一性质不错让许多问题在椭圆坐标系下的描画变得简单。图片
椭圆坐标系(图片来自Wikipedia)表面上坐观点默示面貌并不独一。为了便捷，不错选择用三角函数默示的椭圆参数方程和用双曲函数默示的双弧线参数方程中的参数来看成椭圆坐标系的坐标中。这么，椭圆坐标就可由以下方程笃定图片
其中ξ≥0,0<η≤2π，x、y为直角坐标。由上式可知，每一个ξ对应的椭圆为图片
而每一个η则对应双弧线图片
的四分之一支(当0<η<π/2时对应双弧线在第一象限的部分，当π/2<η<π时对应双弧线在第二象限的部分，当π<η<3π/2时对应双弧线在第三象限的部分，当3π/2<η<2π时对应双弧线在第四象限的部分)。这么，椭圆跟双弧线的交点跟椭圆坐标逐个双应。此外，由于椭圆跟双弧线在两焦点之间的线段内莫得交点，椭圆坐标不成默示该范围内的点，但事实上这庸碌不影响椭圆坐标系的应用。椭圆坐标系的应用关于一些物理和数知识题，若在椭圆坐标系下惩处，就会简单得多。举例，恒星隔邻的行星、彗星等天体的领略轨迹庸碌为椭圆或双弧线(为抛物线这种极限情形的概率很小)，若用椭圆坐标描画它的领略轨迹，那么(ξ,η)两个坐标中其中一个是不变的常量，只消一个坐标是变量，这么就不错让问题获得简化。另外，在椭圆坐标系中，拉普拉斯算子的抒发式为图片
从而不难说明拉普拉斯方程图片
在椭圆坐标系下可通过分离变量法求解。而用分离变量法求解时，解中未知参数需要由范畴要求笃定。有些物理问题的范畴要求为椭圆，这时范畴上坐标ξ为常量，默示范畴要求的方程中就只含一个变量η。从而范畴要求比其他可分离变量的坐标系(如直角坐标系)下的范畴要求简单得多。庸碌求解方程也就简单得多。近似的，期骗椭圆坐标系也能简化椭圆范畴下亥姆霍兹方程的求解。 本站仅提供存储就业，通盘实质均由用户发布，如发现存害或侵权实质，请点击举报。